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Pesquisa

 

Sistemas Dinâmicos Não Lineares

 


Laboratório de Sistemas Dinâmicos Não Lineares
Departamento de Matemática
www.icmc.usp.br/~sdnl

 


Apresentação

 


Sistemas dinâmicos são modelos matemáticos para muitos problemas na física, biologia, economia, engenharia e assim por diante. Estes sistemas dinâmicos são normalmente associados às equações diferenciais que podem ser equações diferenciais ordinárias, equações diferenciais parciais, equações diferenciais funcionais, equações diferenciais parciais-funcionais e sistemas discretos. Modelos matemáticos são obtidos usando leis empíricas, medições, observações, etc. É frequentemente o caso que algumas das influências que o sistema de sofre são negligenciadas durante a modelagem (por facilidade de análise). Além disso, todos os parâmetros do modelo aproximado são determinados com algum erro. Assim, os modelos práticos são apenas aproximações de um modelo ideal e os erros são inevitáveis. Com isto em mente é de fundamental importância que os modelos  desfrutem de uma certa estabilidade com relação a todas as perturbações possíveis. Uma abordagem possível para esta questão é estudar a estabilidade da dinâmica assintótica (atratores) sob perturbações e este é o tema principal de pesquisa do grupo de Sistemas dinâmicos não lineares do ICMC/USP. Em particular, um problema em que o grupo tem trabalhado, para equações diferenciais semilineares, é a tentativa para transferir informação da parte linear da equação para o comportamento assimptótico da equação semilinear. Para ser mais específico, tentamos mostrar que, se a parte linear (ilimitada) da equação comporta-se "continuamente" (por exemplo, o resolvente se comporta de forma contínua) então, a dinâmica não-linear se comporta de forma contínua. Os projetos relacionados a isso são chamados semicontinuity superior e inferior semicontinuity de conjuntos invariantes e linearização suave. O estudo do local e global boa colocação para equações diferenciais parciais semilineares no caso de crescimento crítico é também um tópico de pesquisa importante do grupo e consiste na determinação, para a classe mais ampla possível de não-linearidades e espaços de fase, da existência de uma solução única para cada dado iniciai no espaço de fase que comporta-se continuamente com respeito aos dados iniciais. Esta é talvez a questão mais fundamental em equações diferencias. Outro tópico de pesquisa importante para o grupo é o estudo da existência e estabilidade de soluções especiais (órbitas periódicas, ondas viajantes, órbitas homoclínicas, órbitas heteroclínicas e órbitas mais geralmente limitadas). Nas aplicações de Equações Diferenciais estas soluções desempenham um papel fundamental.

 


Linhas de pesquisa

 


• Equações de evolução, bifurcação, simetria e sincronização


• Equações diferenciais parciais lineares e não lineares


• Problemas parabólicos semilineares.


• Comportamento assintótico


• Existência, unicidade continuidade e continuação de soluções: Caso crítico


• Sistemas de equações elípticas com não linearidades de salto


• Problemas quase-lineares


• Linearização suave


• Teoria do índice de Conley
 

 

Conquistas recentes

 

Estabilidade dos sistemas gradientes por perturbações. O estudo da estabilidade da caracterização de atratores globais para semigrupos sob perturbações nos leva a procurar um resultado que assegura a estabilidade dos sistemas gradientes sob perturbação. Isso nos levou ao conceito de sistemas de tipo gradientes que possuem as propriedades dinâmicas dos semigrupos gradientes e que são estáveis sob perturbação. Além disso, para sistemas dinâmicos não autónomos introduzimos o conceito de um processo de evolução gradiente-like e provamos que uma perturbação não-autônoma de um semigrupo de tipo gradiente é um processo de evolução de tipo gradiente. Recentemente, também provamos que os conceitos de semigrupos de tipo gradiente e gradiente são equivalentes. Soluções positivas para o p-Laplaciano envolvendo não-linearidades críticas e supercríticas com zeros. Provamos a existência de pelo menos duas soluções positivas para Δp u = λ h(x; u) em um domínio limitado suave com λ grande e não-linearidade com crescimento p-superlinear (mas subcrítico) no infinito, p-linear em zero com h (x; a (x)) = 0 para uma função positiva apropriada a. Nós também obtivemos o mesmo resultado, sem restrição no crescimento de h, mas renunciando à hipótese de que h dependente de x ε Ω e exigindo que o domínio seja convexo, a fim de aplicar resultados adequados de monotonicidade provenientes da técnica de planos móveis.

 


Principais projetos

 

Projeto Temático FAPESP


Projeto de Cooperação Internacional CAPES/DGU


Projeto de Cooperação Internacional FAPESP/CNRS

 

 
Professor Associado 1
Professor Associado 2
Professor Doutor 1
Professor Associado 2
Professor Associado 1



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