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Ideia geral
Antes de começar as listas de forcing, é melhor você ter visto algo sobre o Axioma de Martin e também sobre Álgebras de Boole
Nesta lista vamos supor alguns resultados que serão provados posteriormente. Precisamos também ter fixada uma álgebra de Boole $B$. O primeiro resultado é um metateorema:
Metateorema Para cada fórmula $\varphi$ na teoria dos conjuntos, existe um $[\![ \varphi ]\!] \in B$ (valor booleano de $\varphi$). Além disso, se $\varphi$ e $\psi$ são fórmulas de teoria dos conjuntos, temos:
- $[\![ \neg \varphi ]\!] = - [\![ \varphi ]\!]$
- $[\![ \varphi \land \psi ]\!] = [\![ \varphi ]\!] [\![ \psi ]\!]$
O resultado anterior é um metateorema no seguinte sentido: fixadas $\varphi_1, \ldots, \varphi_n$ fórmulas, conseguimos provar o teorema acima para essas fórmulas (ou seja, calculamos os valores Booleanos de cada uma delas e os valores apresentam as relações acima).
Além do resultado anterior, também precisamos do seguinte:
Metateorema Se $\varphi$ é um axioma de ZFC, então $[\![ \varphi ]\!] = 1$.
Do mesmo jeito que os resultados acima são metateoremas, alguns dos exercícios abaixo são “metaexercícios”.
1 Mostre que $[\![ \varphi \lor \psi ]\!] = [\![ \varphi ]\!] + [\![ \psi ]\!]$.
2 Mostre que, dados $a, b \in B$, $a \leq b$ se, e somente se, $-a + b = 1$.
3 Mostre que $[\![ \varphi \rightarrow \psi ]\!] = 1$ se, e somente se, $[\![ \varphi ]\!] \leq [\![ \psi ]\!]$.
4 Mostre que se $\varphi$ pode ser provada a partir de finitos axiomas de ZFC, então $[\![ \varphi ]\!] = 1$.
5 Mostre que se $\varphi$ é tal que $[\![ \varphi ]\!] \neq 0$, então não existe uma demonstração para $\neg \varphi$.
Resumindo, se conseguirmos uma maneira de calcular $[\![ \varphi ]\!]$ para cada $\varphi$ respeitando os metateoremas apresentados, para mostrarmos que uma $\varphi$ é consistente com ZFC, é suficiente provar que $[\![ \varphi ]\!] \neq 0$.
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