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Relações entre modelos
Dizemos que dois L-modelos $\mathcal{M}$ e $\mathcal{N}$ são isomorfos ($\mathcal{M} \cong \mathcal{N}$) se existe uma bijeção $h: M \rightarrow N$ tal que:
- para todo símbolo relacional R e $a_1,\ldots,a_n \in M$, temos que $R^{\mathcal{M}}(a_1,\ldots,a_n)$ se, e somente se, $R^{\mathcal{N}}(h(a_1),\ldots,h(a_n))$.
- para todo símbolo funcional $f$ e $a_1,\ldots,a_n \in M$, temos que $h(f^{\mathcal{M}}(a_1,\ldots,a_n)) = f^{\mathcal{N}}(h(a_1),\ldots,h(a_n))$
- para toda constante c, temos que $h(c^{\mathcal{M}}) = c^{\mathcal{N}}$
Dizemos que $h$ é um homomorfismo se satisfaz a segunda e a terceira propriedade mais a ida da primeira.
Dizemos que dois modelos $\mathcal{M}$ e $\mathcal{N}$ são equivalentes ($\mathcal{M} \equiv \mathcal{N}$) se, para toda L-fórmula $\varphi$, temos que $\mathcal{M} \vDash \varphi$ se, e somente se, $\mathcal{N} \vDash \varphi.$
1 Seja $h: M \rightarrow N$ um isomorfismo entre $\mathcal{M}$ e $\mathcal{N}$. Mostre que, dado $t$ termo, $\varphi$ fórmula e $\alpha$ valoração, temos:
1.1 $h(t^{\mathcal{M}}[\alpha]) = t^{\mathcal{N}}[h \circ \alpha]$
1.2 $\mathcal M \models \varphi[\alpha]$ se, e somente se, $\mathcal{N} \vDash \varphi[h \circ \alpha]$
2 Utilizando o resultado anterior mostre que, se $\mathcal{M} \cong \mathcal{N}$, então $\mathcal{M} \equiv \mathcal{N}$.Solução
3 Mostre que se $\mathcal{M}$ é finito, então vale a volta.
4 Mostre que se $\mathcal{M}$ for infinito então a volta não vale. Dica
Submodelos Elementares
Dizemos que $\mathcal{M}$ é um submodelo de $\mathcal{N}$ ($\mathcal{M} \subset \mathcal{N}$) se:
- $M \subset N$
- $R^{\mathcal{M}} = R^{\mathcal{N}} \cap M^n$ se $R$ é uma relação $n$-ária.
- $f^{\mathcal{M}} = f^{\mathcal{N}} \upharpoonright M^n$ se $f$ é uma função $n$-ária.
- $c^{\mathcal{M}} = c^{\mathcal{N}}$ se $c$ é um símbolo constante.
5 Mostre que $(\mathbb{N},+,.,<,0,1)$ é submodelo de $(\mathbb{Q},+,.,<,0,1)$, que por sua vez é submodelo de $(\mathbb{R},+,.,<,0,1)$.
6 Sejam $\mathcal{M} \subset \mathcal{N}$ e $\alpha$ uma valoração em $\mathcal{M}$. Mostre que:
6.1 para todo termo $t, t^{\mathcal{M}}[\alpha] = t^{\mathcal{N}}[\alpha]$.
6.2 se $\varphi$ é uma fórmula sem quantificadores, $\mathcal{M} \vDash \varphi[\alpha]$ se, e somente se, $\mathcal{N} \vDash \varphi[\alpha]$.
6.3 Dê um exemplo mostrando que a hipótese de “sem quantificadores” é necessária.
Dizemos que $\mathcal{M}$ é um submodelo elementar de $\mathcal{N}$ ($\mathcal{M} \prec \mathcal{N}$) se $\mathcal{M} \subset \mathcal{N}$ e, para toda valoração $\alpha$ sobre $\mathcal{M}$, temos que $\mathcal{M} \vDash \varphi[\alpha]$ se, e somente se, $\mathcal{N} \vDash \varphi[\alpha]$ para toda fórmula $\varphi$.
7 (Critério de Tarski) Suponha que $\mathcal{M} \subset \mathcal{N}$ e que, para toda fórmula $\varphi(x_1,\ldots,x_n)$ e todo $a_1,\ldots,a_{n-1} \in M$, temos que $\mathcal{N} \vDash \exists x_n \varphi[a_1,\ldots,a_{n-1}, x_n]$ implica que existe $a \in M$ tal que $\mathcal{N} \vDash \varphi[a_1,\ldots,a_{n-1},a]$. Prove que $\mathcal{M}$ é submodelo elementar de $\mathcal{N}$. Dica
8 Seja $\mathcal{N}$ um L-modelo. Sejam $X \subset N$ e $\kappa$ cardinal tais que $\aleph_0$, $|L|$, $|X| \leq \kappa \leq |N|$. Mostre que existe submodelo $\mathcal{M} \subset \mathcal{N}$ tal que $X \subset M$ e $|M| = \kappa$.
9 (Löweinheim-Skolem-Tarkski para baixo) Seja $\mathcal{N}$ um L-modelo. Sejam $X \subset N$ e $\kappa$ cardinal tais que $\aleph_0$, $|L|$, $|X| \leq \kappa \leq |N|$. Mostre que existe um submodelo elementar $\mathcal{M} \prec \mathcal{N}$ tal que $X \subset M$ e $|M| = \kappa$. Dica
10 Mostre que $(\mathbb{Q},<) \prec (\mathbb{R},<)$ (Note que isso significa que a existência de supremo para conjuntos limitados não é possível de ser expressa por fórmulas como apresentadas aqui).Dica
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