SMA0193 Introdução aos grupos de Lie
Primeiro semestre 2016
Período: 16/02/2016 a 10/06/2016 (30 aulas)
Local: sala 5-104 do ICMC
Horário: terças 14:20-16:00 e sextas 16:20-18:00
Monitor: Sidnei Furtado Costa (PAE)
emails: grossi@icmc.usp.br e sidneifc@icmc.usp.br
Atedimento: o atendimento
extra-classe será realizado, de preferência, pelo monitor PAE. O
atendimento ocorrerá apenas com agendamento prévio por e-mail com, no
mínimo, 24 horas de antecedência.
Critério de avaliação: a nota
do curso será constituída pela média das listas de exercícios (peso 3)
e pela prova (peso 7). De acordo com as normas do ICMC, será
considerado aprovado o aluno cuja média final for maior ou igual a 5 e
cuja frequência for maior ou igual a 70% (21 aulas). Os alunos cuja
média final estiver no intervalo [3,5) e cuja frequência for superior a
70% poderão realizar a prova de recuperação.
Pré-requisitos: conhecimentos básicos em teoria de grupos e topologia geral.
- É recomendada para todos os alunos a leitura prévia do Apêndice A (Point-Set Topology) do livro de Loring Tu "An introduction to manifolds" (páginas 281 a 298).
- O livro de Michael Artin "Algebra" é uma boa fonte para você esclarecer dúvidas básicas sobre teoria de grupos.
Datas das provas:
- Prova: 31/05
- Recuperação: 22/07 (toda a ementa, dependendo da sua escolha de rota).
Listas de exercícios
18/02. Primeira lista (entrega até o dia 01/03). Rota 1. Rota 2. Para diversão.
01/03. Segunda lista (entrega até o dia 18/03). Rota 1. Rota 2.
18/03. Terceira lista (entrega até o dia 12/04). Rota 1. Rota 2.
12/04. Quarta lista (entrega até o dia 03/05). Rota 1. Rota 2.
Bibliografia:
- Rota 1: M. L. Curtis, Matrix groups, W. Rossmann, Lie groups: an introduction through linear groups e M. Artin, Algebra.
- Rota 2: L. Tu, An introduction to manifolds, S. Anan'in, Notas de aulas
(apenas a Seção 2, páginas 7 a 14, até - inclusive - a Subseção
2.10.9) e M. Artin, Algebra. Atenção: a bibliografia da rota 2 pode crescer ao longo do
curso, dependendo do andamento.
Notas
Cronograma (atualizado a cada aula)
- 16/02.
Foram introduzidos os grupos clássicos GL, SL, O, U, SO, SU. Mostramos
que SU(2) é uma esfera de dimensão 3 e que SO(3) é o espaço
projetivo. Discutimos brevemente que as classes de conjugação em SU(2)
são - com as óbvias exceções - esferas bidimensionais (as "latitudes"
de SU(2)). Comentamos brevemente sobre o recobrimento duplo SU(2) ->
SO(3). Leitura recomendada: Artin páginas 270 a 282 (até a Seção 4, inclusive).
- 19/02. Álgebras de Hurwitz. Processo de Cayley-Hamilton. Quatérnions e octonions. Grupo simplético.
- 23/02. Aplicações
suaves entre espaços lineares normados. Matriz jacobiana. Lema de
Hadamard. O espaço linear de derivações em um ponto. O isomorfismo
natural entre o espaço linear V e o espaço de derivações em um ponto de
V. Leitura recomendada: S. Anan'in
páginas 7 a 12 até o Exemplo 2.10.5 (inclusive). Para nossos fins, não
é necessário considerar o Lema 2.7 e seu Corolário.
- 26/02.
Variedades topológicas. Variedades suaves. Aplicação suave
entre variedades suaves. Leitura recomendada: L. Tu páginas 47 a 53.
- 01/03.
Espaço tangente. Diferencial de uma aplicação suave. Campos de vetores.
Colchete de Lie. Leitura recomendada: L. Tu páginas 57 a 61, páginas 77
a 87 (exceto a Seção 8.8) e páginas 135, 146, 141 e 142.
- 04/03. Imersões e mergulhos. Exemplos de imersões injetivas que não são mergulhos. Teorema do posto. Valores regulares e teorema da pré-imagem. Leitura recomendada: L. Tu páginas 91 a 98.
- 08/03. Grupos
topológicos e grupos de Lie. Componente conexa de identidade é subgrupo
normal com quociente discreto ("redução" aos finitos ou conexos). O
recobrimento universal M de um grupo de Lie conexo G possui estrutura
canônica de grupo de Lie tal que a aplicação de recobrimento p:M->G
é um morfismo de grupos de Lie; o núcleo de p é um subgrupo discreto
central e M/Ker p=G ("redução"
dos conexos aos conexos simplesmente conexos). Leitura recomendada. L. Tu páginas149 a 151.
- 11/03. Pullback e pushforward de campos. Campos invariantes à esquerda e à direita. Álgebra de Lie de um grupo de Lie. Leitura recomendada: L. Tu páginas 143 e 144, 161 a 166 (exceto a Seção 16.6).
- 15/03. Campos
f-relacionados. Campos invariantes à esquerda e à direita comutam. Um
morfismo de grupos de Lie induz um morfismo de álgebras de Lie. Fluxos
(início). Leitura recomendada: L. Tu, páginas 168 (a partir da Seção 16.8) e 169.
- 18/03.
Fluxos (continuação). Subgrupos uniparamétricos. Aplicação exponencial.
Leitura recomendada: Michor, Kolar, Slovak (aka MKS) Natural operations in differential geometry páginas 16 a 19 e páginas 35 a 37.
- 23/03. Aula de revisão. Conseguimos atingir 6 horas de aula (provavelmente, graças à forte chuva). Obrigado pela paciência!
- 29/03. Homomorfismo contínuo entre grupos de Lie é suave. Leitura recomendada: MKS página 37 teorema 4.21.
- 01/04. Representação adjunta. Subgrupos de Lie (introdução). Leitura recomendada: MKS página 38 e página 41.
- 05/04. Teorema do subgrupo fechado. Leitura recomendada: MKS página 42, teorema 5.5.
- 08/04. Aplicações em
grupos de matrizes: campos vetoriais, subgrupos uniparamétricos, Ad, ad
e d(exp). Leitura recomendada: Rossmann páginas 1 a 44.
- 12/04. Espaços homogêneos. Teorema: H-->G-->G/H é uma fibração. Leitura recomendada: MKS páginas 45 e 46.
- 19/04. Aula de exercícios (apresentação do Sidnei).
- 26/04. Classificação das subálgebras de Lie de sl(2,C) (bela apresentação do Pedro Pimenta). Leitura recomendada: blog do Terence Tao.
- 29/04. Propriedades universais. Álgebras tensorial e exterior. Leitura recomendada: Meinrenken páginas 23 a 30.
- 03/05. Álgebras de Clifford: propriedade universal, construção, automorfismo e antiautomorfismo canônicos. Álgebra de Clifford é quantização da álgebra exterior. Leitura recomendada: Meinrenken páginas 30 a 37 e/ou 230b1206.
- 06/05. Centro e anticentro de uma álgebra de Clifford. Grupo de Clifford. Representação adjunta torcida. Leitura recomendada: 230b1206.
- 10/05. Representação do grupo de Clifford em O(V). Leitura recomendada: teorema na página 66 de 230b1206. Teorema de Cartan-Dieudonné (atenção: a demonstração em 230b1206 está errada e prova apenas que O(V) é gerado por reflexões em hiperplanos).
- 13/05. Teorema de Cartan-Dieudonné. Referência: Meinrenken páginas 5 a 15.
- 17/05. As sequências 1-->Z_2-->Pin(V)-->O(V)-->1 e 1-->Z_2-->Spin(V)-->O(V)--> 1. Referência: Meinrenken pg. 39 e 40.
- 20/05. Provinha 1.
- 24/05. Provinha 2.
- 03/06. Provinha 3.
- 07/06. Prova final.
- 10/06. Provinha 4.