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\begin{document}
\begin{center}
\Large\bf Olimp\'\i ada n\~ao-presencial de Topologia\end{center}

\vskip10pt

\begin{center}\bf S\~ao Petersburgo, 1--31 de outubro de 2017\end{center}

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\leftskip109pt

\noindent
Os problemas originais em russo se encontram no endere\c co\newline
http://mathcenter.spb.ru/nikaan/olympiad/problems.pdf\newline
(vers\~ao atual com poss\'\i veis corre\c c\~oes).

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\centerline{\large\bf Problemas}

\medskip

\noindent
{\bf1.}~Encontre subconjuntos compactos n\~ao-homeomorfos $X_1$ e $X_2$ no plano tais que $X_1\times I$ \'e homeomorfo a
$X_2\times I$, onde $I:=[0,1]$ \'e o intervalo fechado da reta.

\medskip

\noindent
{\bf2.}~Um conjunto de $4$ pontos est\'a munido da topologia minimal (com rela\c c\~ao \`a quantidade de abertos) tal que dois
pontos s\~ao abertos e os outros dois s\~ao fechados. Calcule o grupo fundamental deste espa\c co e construa seu recobrimento
universal.

\medskip

\noindent
{\bf3.}~{\bf a.}~No espa\c co de todos os tri\^angulos do plano, o subespa\c co de todos os tri\^angulos ret\^angulos \'e um
retrato de deforma\c c\~ao?

\smallskip

{\bf b.}~Construa uma retra\c c\~ao de deforma\c c\~ao do espa\c co de todos os tri\^angulos no plano para o subes\-pa\c co de
tri\^angulos regulares.

\medskip

\noindent
{\bf4.}~Seja $X$ uma variedade conexa e seja $f:X\to\mathbb S^2$ uma fun\c c\~ao cont\'\i nua tal que a imagem inversa
$f^{-1}(x)$ \'e homeomorfa a $\mathbb S^1$ para todo $x\in\mathbb S^2$. Quais podem ser $H_1(X,\mathbb Z)$ e $H_2(X,\mathbb Z)$ ?

\medskip

\noindent
{\bf5.}~Considere $\mathbb S^4:=\{x\in\mathbb R^5\mid|x|=1\}$. \'E verdade que, para cada $x\in\mathbb S^4$, \'e poss\' \i vel
encontrar um plano afim $P_x$ tangente a $\mathbb S^4$ em $x$, de modo que $P_x$ depende continuamente de $x$ ?

\noindent
{\bf6.}~Um espa\c co de Hausdorff enumer\'avel e infinito pode ser conexo?

\medskip

\noindent
{\bf7.}~Existe uma fun\c c\~ao sobrejetora $f:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$ que n\~ao \'e um homeomorfismo, mas, para cada ponto
$x\in\mathbb R^2$, existe uma vizinhan\c ca $U$ tal que $f:U\to f(U)$ \'e um homeomorfismo?

\medskip

\noindent
{\bf8.}~{\bf a.}~Considere o quadrado $[0,n]^2$ no plano, onde $n$ \'e natural. Retiramos do quadrado todos os pontos com ambas
as coordenadas n\~ao-inteiras. Restou um complexo celular unidimensional $X$. Encontre $k=k(n)$ maximal tal que, para qualquer
fun\c c\~ao cont\'\i nua de $X$ para $R^1$, existe um ponto com pelo menos $k$ imagens inversas.

\smallskip

{\bf b.}~Fa\c ca o mesmo com fun\c c\~oes para $\mathbb R^2$ do complexo bidimensional obtido de $[0,n]^3\subset\mathbb R^3$
por excluir todos os pontos com todas as coordenadas n\~ao-inteiras.

\medskip

\noindent
{\bf9.}~Existe uma imers\~ao da esfera $f:\mathbb S^2\to\mathbb R^3$ que n\~ao admite uma imers\~ao $g:D^3\to\mathbb R^3$ do
disco tridimensional para a qual $g|_{\partial D^3}=f$ ?

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\hrule

\vskip15pt

\centerline{\large\bf Regras}

\medskip

\noindent
{\bf1.}~S\'o ser\~ao corrigidos (por n\'os) solu\c c\~oes de alunos do ICMC.

\noindent
{\bf2.}~As provas ser\~ao corrigidas em duas categorias: gradua\c c\~ao e p\'os-gradua\c c\~ao.

\noindent
{\bf3.}~As equipes podem ser de 1 a 3 pessoas.

\noindent
{\bf4.}~\'E permitido a consulta a qualquer fonte --- mas n\~ao se pode pedir ajuda a pessoas de fora da equipe.

\noindent
{\bf5.}~Solu\c c\~oes, mesmo que parciais, dever\~ao ser entregues em papel ou email (sasha\_a@icmc.usp.br) at\'e o dia 15 de
dezembro para o Sasha. 

\noindent
{\bf6.}~Para as vers\~oes em papel, use caneta ou imprima um arquivo \TeX/\LaTeX. Para as vers\~oes eletr\^o\-nicas, somente
arquivos pdf.

\noindent
{\bf7.}~Haver\'a premia\c c\~ao.

\end{document}